Question

（2012•金华模拟）已知函数f（x）=lnx+ax²+x．
（1）若f（x）在（0，+∞）是增函数，求a的取值范围；
（2）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞x₁，直线AB的斜率为k，记N（u，0），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），若

A1B1

=λ

A1N

(1≤λ≤2)，求证：f′（u）＜k．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用f（x）在（0，+∞）是增函数，可得f′(x)=

2ax2+x+1

x

＞0，进而分离参数，即可求得a的取值范围；
（2）先求得k=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

+a(x2+x1)+1，由N（u，0），

A1B1

=λ

A1N

(1≤λ≤2)，求得u=

x2+(λ-1)x1

λ

，进而可得f′（u）-k的表达式，要证f′（u）＜k，只要证

λ(x2-x1)

x2+(λ-1)x1

-ln

x2

x1

＜0，利用换元，构造新函数，即可证得．

解答：（1）解：求导函数可得：f′(x)=

2ax2+x+1

x

（x＞0）
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴f′(x)=

2ax2+x+1

x

＞0
∴2ax²+x+1＞0
∴2a＞-

1

x

-(

1

x

)2
∵x＞0，∴-

1

x

-(

1

x

)2＜0
∴a≥0；
（2）证明：∵A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），∴k=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

+a(x2+x1)+1
∵N（u，0），

A1B1

=λ

A1N

(1≤λ≤2)
∴x₂-x₁=λ（u-x₁）
∴u=

x2+(λ-1)x1

λ

∴f′（u）=

λ

x2+(λ-1)x1

+2a×

x2+(λ-1)x1

λ

+1
∴f′（u）-k=

λ

x2+(λ-1)x1

-

lnx2-lnx1

x2-x1

+

a

λ

(2-λ)(x2-x1)
∵a＜0，x₂＞x₁，1≤λ≤2
∴

a

λ

(2-λ)(x2-x1)≤0
∴要证f′（u）＜k，只要证

λ

x2+(λ-1)x1

-

lnx2-lnx1

x2-x1

＜0
即

λ(x2-x1)

x2+(λ-1)x1

-ln

x2

x1

＜0
设

x2

x1

=t，则

λ(x2-x1)

x2+(λ-1)x1

-ln

x2

x1

=

λ(t-1)

t+(λ-1)

-lnt，显然t＞1
令g（t）=

λ(t-1)

t+(λ-1)

-lnt，则g′（t）=

-t2+(λ2-2λ+2)t-(λ-1)2

t(t+λ-1)2

记T（t）=-t²+（λ²-2λ+2）t-（λ-1）²，对称轴为t=

(λ-1)2+1

2

∵1≤λ≤2，

1

2

≤

(λ-1)2+1

2

≤1
∴函数在（1，+∞）上单调递减，
∵T（1）=0，∴，t＞1时，T（t）＜0恒成立
即-t²+（λ²-2λ+2）t-（λ-1）²＜0恒成立
∵t（t+λ-1）²＞0
∴g′（t）＜0
∴g（t）＜g（1）=0
∴f′（u）＜k．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查不等式的证明，构造函数，正确求导是关键．