Question

在任意八边形ABCDEFGT中，取各边中点，如图，H、I、J、K、L、M、N、O分别是GT、TA、AB、BC、CD、DE、EF、FG的中点，连接IK、JL、MO、NH，P、Q、R、S分别是NH、MO、JL、IK的中点．求证：以P、Q、R、S为顶点的四边形SRQP是平行四边形．

Answer 1

分析：取AD的中点X，连接JX、JK、KL、LX，由三角形的中位线定理可得：四边形JKLX是平行四边形．对角线JL与KX相交于点R．由三角形的中位线定理可得：SR∥TD．同理可知：PQ∥TD．得到SR∥PQ．同理可证：SP∥RQ．即可证明．

解答：证明：如图所示，
取AD的中点X，连接JX、JK、KL、LX，
由三角形的中位线定理可得：JX

∥

.

1

2

BD

∥

.

KL，
∴JX

∥

.

KL，
∴四边形JKLX是平行四边形．
∴对角线JL与KX相交于点R．
由三角形的中位线定理可得：SR∥IX，IX∥TD，
∴SR∥TD．
同理可知：PQ∥TD．
∴SR∥PQ．
同理可证：SP∥RQ．
∴以P、Q、R、S为顶点的四边形SRQP是平行四边形．

点评：本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形定理的判定与性质定理，考查了添加辅助线的能力，考查了推理能力，考查了处理复杂问题的能力，属于难题．