Question

对于在区间A上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈A，恒有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在A上是接近的，否则称f（x）与g（x）在A上是非接近的．
（1）证明：函数上是接近的；
（2）若函数上是接近的，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）证明：当
故f（x）与g（x）在[-1，1]上是接近的
（2）f（x）与g（x）在[a+2，a+3]上是接近的?对任意的x∈[a+2，a+3]，恒有
…①…②…③
由①②恒成立
③恒成立?-1≤log_n（x-a）（x-3a）≤1（x∈[a+2，a+3]）
由0＜a＜1知2a＜a+2，故函数?（x）=（x-a）（x-3a）
在[a+2，a+3]上递增，因此有


综上所述得a的取值范围是．
分析：（1）欲证明证明：函数上是接近的；只须证明：当即可；
（2）由于f（x）与g（x）在[a+2，a+3]上是接近的?对任意的x∈[a+2，a+3]，恒有下面分别讨论此三个不等式恒成立的条件即可得到a的取值范围．
点评：本小题主要考查对数函数的性质和应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，解题时要注意函数恒成立的充要条件的合理运用．