Question

【题目】已知椭圆：的离心率，短轴的一个端点到焦点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2），是椭圆上的两点，线段的中点在直线上，求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用短轴的一个端点到焦点的距离可得，结合离心率可得方程；

（2）联立方程结合韦达定理可求AB的中点，进而可得斜率的范围.

解：（1）由已知得椭圆的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为，

解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，直线的中点在直线上，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，点 ，

将直线的方程与椭圆方程联立并化简，得，

由韦达定理得，，

，化简得.

由线段的中点在直线上，得，

故，即，即，

代入，得，

解得或.

因此，直线的斜率的取值范围是.