Question

已知：长方体，，为对角线的中点，过的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是　　　     　．

Answer 1

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解析试题分析：如图所示．

∵O为对角线AC₁的中点，∴O（1，2，2）．以下分类讨论：根据长方体的对称性和数量积的性质：取P点时只要取顶点和每个表面的中心即可．
①当点MN在上下两个面时．取P（0，0，0），设N（x，y，0），（0≤x≤2，0≤y≤4）．则M（2-x，4-y，4）．∴=x（2-x）+y（4-y）=-[（x-1）²+（y-2）²]+5，此时可得：的取值范围是[0，5]．
取点P（1，0，2），=（1-x，4-y，-2），=（x-1，y，-2）
则=-（x-1）²+y（4-y）-4=-[（x-1）²+（y-2）²]，
由于0≤x≤2，0≤y≤4，∴-5≤≤0．
此时可得：的取值范围是[-5，0]．
综上可得：的取值范围是[-5，5]．
②当点MN在左右两个面时，的取值范围是[-5，5]．
③当点MN分别上或下两个面、左或右时，的取值范围是[-8，8]．
综上可得：的取值范围是[-8，8]．
故应填入： [-8，8]．
考点：１．长方体的对称性；２．数量积的性质．