Question

9．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则$\frac{{|{\overrightarrow{MN}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|$\overrightarrow{MN}$|=a+b，由余弦定理可得|$\overrightarrow{AB}$|²=（a+b）²-3ab，进而根据基本不等式，求得|$\overrightarrow{AB}$|的取值范围，从而得到本题答案

解答 解：设|AF|=a，|BF|=b，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|$\overrightarrow{MN}$|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|$\overrightarrow{AB}$|²=a²+b²-2abcos90°=a²+b²，
配方得，|$\overrightarrow{AB}$|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-$\frac{1}{2}$（a+b）²=$\frac{1}{2}$（a+b）²
得到|$\overrightarrow{AB}$|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{{|{\overrightarrow{MN}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{{|{\overrightarrow{MN}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求$\frac{{|{\overrightarrow{MN}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．