Question

（2012•杭州二模）已知函数f(x)=ax3+

1

2

x2在x=-1处取得极大值，记g（x）

1

f′(x)

．某程序框图如图所示，若输出的结果S＞

2011

2012

，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（　　）

A．n≤2011？

B．n≤2012？

C．n＞2011？

D．n＞2012？

Answer 1

分析：由f（x）在x=-1处取得极大值可得f′（-1）=0，由此可求得a值，则g（x）=

1

f′(x)

=

1

x2+x

，g（n）=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，输出的结果S=g（1）+g（2）+…+g（n）=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，令S＞

2011

2012

可得n＞2011，即n=2012时S开始大于

2011

2012

，结合选项可得答案．

解答：解：f′（x）=3ax²+x，
因为f（x）在x=-1处取得极大值，
所以f′（-1）=0，即3a-1=0，解得a=

1

3

，
故f′（x）=x²+x，则g（x）=

1

f′(x)

=

1

x2+x

，
g（n）=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
该循环结构为当型循环结构，选项C、D显然不正确，
输出的结果S=g（1）+g（2）+…+g（n）=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，
由S＞

2011

2012

，得

n

n+1

＞

2011

2012

，解得n＞2011，
所以n=2012时S开始大于

2011

2012

，
故判断框中可以填入的关于n的判断条件为：n≤2012？，
故选B．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及程序框图，考查学生对题目的阅读理解能力及解决问题的能力．