Question

4．如图，E、F、O分别是PA，PB，AC的中点，G是OC的中点，求证：FG∥平面BOE（两种方法证明）．

Answer 1

分析 【方法一】取PE的中点H，连接FH，GH，证明平面FHG∥平面BEO，从而得出FG∥平面BOE；
【方法二】连接AF，交BE于点M，连接OM，证明MO∥FG，从而证明FG∥平面BOE．

解答 证明：【方法一】取PE的中点H，连接FH，GH，如图1所示：

E、F、O分别是PA，PB，AC的中点，G是OC的中点，
∴HF∥EB，HG∥EO；
又HF?平面BEO，HG?平面BEO，
EB?平面BEO，EO?平面BEO，
∴HF∥平面BEO，HG∥平面BEO；
又HF∩HG=H，HF?平面FHG，HG?平面FHG，
∴平面FHG∥平面BEO，
又FG?平面FHG，
∴FG∥平面BOE．
【方法二】连接AF，交BE于点M，连接OM，
如图2所示：

∵E、F、O分别是PA，PB，AC的中点，G是OC的中点，
∴$\frac{AM}{MF}$=$\frac{AO}{OG}$=$\frac{2}{1}$，
∴MO∥FG；
又MO?平面BOE，FG?平面BOE，
∴FG∥平面BOE．

点评 本题考查了空间中的线面平行的证明问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力，是中档题目．