Question

若S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求等比数列S₁，S₂，S₄的公比； 
（2）若S₂=4，求{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

3

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）利用数列{a_n}为等差数列，S₁，S₂，S₄成等比数列．可求出首项与公差的关系，即可求得公比；
（2）由S₂=4，结合（1）的结论，即可求{a_n}的通项公式；
（3）利用裂项法求数列{b_n}的前n项和，确定T_n＜

3

2

，从而可得不等式，即可求得使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

解答：解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，∴S₁=a₁，S₂=2a₁+d，S₄=4a₁+6d，
∵S₁，S₂，S₄成等比数列，
∴S₁•S₄=S₂²，
∴a1(4a1+6d)=(2a1+d)2，∴2a1d=d2
∵公差d不等于0，∴d=2a₁
∴q=

S2

S1

=

4a1

a1

=4；
（2）∵S₂=4，∴2a₁+d=4，又d=2a₁，
∴a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1． 
（3）∵bn=

3

(2n-1)(2n+1)

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

3

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

3

2

(1-

1

2n+1

)＜

3

2

要使Tn＜

m

20

对所有n∈N^*恒成立，
∴

m

20

≥

3

2

，∴m≥30，
∵m∈N^*，
∴m的最小值为30．

点评：本题考查等差数列与等比数列的结合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，正确求和是关键．