Question

若S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，则S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列S₁，S₂，S₄的公比；
（2）若S₂=4，求{a_n}的通项公式；
（3）在（2）条件下，若b_n=a_n-14，求{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列与等比数列的定义及其通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式即可得出；
（3）通过分类讨论，利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由

S

2 2

=S₁S₄得出（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），化为d=2a₁．
得

S2

S1

=

2a1+d

a1

=4，
∴数列S₁，S₂，S₄的分比为4．
（2）由S₂=4=2a₁+d=4a₁得出a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（3）由（2）可得b_n=2n-1-14=2n-15．
令b_n=2n-15＞0，
得n＞

15

2

，
∴当n≤7时，T_n=-[（2-15）+（4-15）+…+（2n-15）]=-（2×

n(n+1)

2

-15n）=14n-n²；
当n≥8时，T_n=-b₁-b₂-…-b₇+b₈+…+bn
=b₁+b₂+…+b_n-2（b₁+b₂+…+b₇）
=

n(-13+2n-15)

2

+2T₇
=n²-14n+98．
∴Tn=

14n-n2，n≤7 n2-14n+98，n≥8

．

点评：熟练掌握等差数列与等比数列的定义及其通项公式、分类讨论、等差数列的前n项和公式等是解题的关键．