Question

已知A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂（k₁k₂≠0），若椭圆的离心率为

3

2

，则|k₁|+|k₂|的最小值为（　　）

A．1

B． 2

C． 3

D．2

Answer 1

设M（t，s），N（t，-s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（-a，0），B（a，0），
k₁=

s

t+a

，k₂=-

s

t-a

|k₁|+|k₂|=|

s

t+a

|+|-

s

t-a

|≥2

| s t+a || s a-t |

=2

s2 a2-t2

当且仅当

s

t+a

=-

s

t-a

，即t=0时等号成立．
因为A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，-s），即s=b
∴|k₁|+|k₂|的最小值为

2b

a

，
∵椭圆的离心率为

3

2

，∴

c

a

=

3

2

，
∴a=2b
∴|k₁|+|k₂|的最小值为1
故选A．