Question

如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影．
（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；
（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；
（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大小．

Answer 1

分析：（I）因为E、F分别是棱AD、CD的中点所以EF∥AC，然后利用三角形解出异面直线所成的角的大小；
（II）因为△ACD，△BCD均为正三角形且点F为中点，所以CD⊥面AFB，利用面面垂直得到面AFB⊥面ACD，因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，所以点O必在正三角形BCD的中线BF，上过O做OG⊥AF，利用△AOF∽△OGF，求出点O到平面ACD的距离OG；
（III）利用条件作出EK∥AO，利用已知的线面垂直得到作出的直线垂直与平面BCD，利用二面角的平面角的定义，在三角形中求出二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）因为E、F分别是棱AD、CD的中点，
所以EF∥AC．
所以∠BCA是EF与BC所成角．
∵正四面体ABCD，∴△ABC为正三角形，
所以∠BCA=60°．
即EF与BC所成角的大小是60°．
（II）如图，连接AO，AF，
因为F是CD的中点，
且△ACD，△BCD均为正三角形，
所以BF⊥CD，AF⊥CD．
因为BF∩AF=F，
所以CD⊥面AFB．
因为CD?在ACD，
所以面AFB⊥面ACD．
因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，
所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，
在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G，
所以OG⊥在ACD．
即OG的长为点O到面ACD的距离．
因为正四面体ABCD的棱长为1，
在△ABF中，容易求出AF=BF=

3

2

，OF=

3

6

，AO=

6

3

，
因为利用相似比易求出OG=

6

9

．
所以点O到平面ACD的距离是

6

9

．
（Ⅲ）连接OD，设OD的中点为K，连EK，
则EK∥AO．
因为AO⊥面BCD，
所以EK⊥面BCD．
在平在BCD内，过点K作KN∥CD，KN交BF
于M，交BC于N，
因为BF⊥CD，
所以KN⊥BF．
连接EM，
所以EM⊥BF．
所以∠NME是所求二面角的平面角．
因为EK=

1

2

CH=

1

2

•

6

3

=

6

6

，
MK=

1

2

ED=

1

4

AD=

1

4

，
所以tan∠EMK=

FK

MK

=

2 6

3

．
所以tan∠NME=tan(π-∠EMK)=-

2 6

3

．
所以所求二面角的大小为π-arctan

2 6

3

．

点评：此题重点考查了利用异面直线所成角的定义及中点作出平行线进而在三角形中求出异面直线所成的角的大小，还考查了特殊三角形利用中点得到线面垂直进而利用二面角平面角的定义求出二面角的大小，利用三角形相似求出点到面的距离，及利用反三角函数解出角的大小．