Question

（2012•汕头二模）如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，
（1）证明：平面AB₁D₁⊥平面AA₁C₁
（2）当二面角B₁-AC₁-D₁的平面角为120°时，求四棱锥A-A₁B₁C₁D₁的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理，证明B₁D₁⊥平面AA₁C₁，利用面面垂直的判定，可得平面AB₁D₁⊥平面AA₁C₁；
（2）过点B₁作B₁H⊥AC₁于H，连接D₁H，则D₁H⊥AC₁，先确定正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，再求四棱锥A-A₁B₁C₁D₁的体积

解答：（1）证明：∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁⊥B₁D₁，
∵B₁D₁⊥A₁C₁，AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴B₁D₁⊥平面AA₁C₁，
∵B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面AA₁C₁；
（2）解：过点B₁作B₁H⊥AC₁于H，连接D₁H，则D₁H⊥AC₁，B₁H=D₁H，∴∠B₁HD₁=120°
在△B₁HD₁中，由余弦定理可得B1D12=B1H2+D1H2-2B1H×D1H×cos120°=2
∴B₁H=D₁H=

6

3

，
在Rt△AB₁C₁中，由等面积可得AB₁×B₁C₁=B₁H×AC₁
即

h2+1

×1=

6

3

×

h2+2

∴h=1，
此时，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，四棱锥A-A₁B₁C₁D₁的体积为V=

1

3

×1×1=

1

3

．

点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查四棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面垂直、面面垂直的判定定理是关键．