Question

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2．

(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小．

Answer 1

答案：
解析：

证：(Ⅰ)连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知， 　　△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD， 　　所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以 　　PA⊥BE，因此BE⊥平面PAB． 　　又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB． 　　解：(Ⅱ)延长AD、BE相交于点F，连结PF． 　　过点A作AH⊥PB于H，由(Ⅰ)知 　　平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE． 　　在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°， 　　所以，AF＝2AB＝2＝AP． 　　在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG． 　　则AG⊥PF．连结HG，由三垂线定理的逆定理得， 　　PF⊥HG．所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(锐角)． 　　在等腰Rt△PAF中， 　　在Rt△PAB中， 　　 　　所以，在Rt△AHG中， 　　故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是