Question

（本题满分12分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，点是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三边长AC，BC，AB满足勾股定理则AC⊥BC，又侧棱垂直于底面ABC，则CC₁⊥AC，又BC∩CC₁=C，根据线面垂直的判定定理可知AC⊥面BCC₁，又BC₁⊂平面BCC₁，根据线面垂直的性质可知AC⊥BC₁．

（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，根据D是AB的中点，E是BC₁的中点，可知DE∥AC₁，而DE⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，根据线面平行的判定定理可知AC₁∥平面CDB₁；

（3）利用线面垂直得到几何体的高，进而求解体积。

解：（1）证明：在中，

为，

…………………1分

又底面，底面，

……………………2分

平面

平面，……………………………………………………3分

而平面，

………………………………………………………………4分

（2）设交于点，连结

直三棱柱

四边形是平行四边形，是的中点……………………………5分

又是的中点，………………………………………………6分

而平面，平面，………………………………………7分

平面.………………………………………………8分

（3）连结，过点作，垂足为.

在中，………………………………9分

又直三棱柱

平面平面，而

平面平面平面

平面，即是三棱锥的高，…………………………11分

又………………………………………12分

考点：本试题主要考查了空间几何体中线线垂直的证明，以及线面平行判定定理的熟练运用。

点评：解决该试题的关键是根据线面垂直的判定定理得到线线垂直，以及运用线面平行判定定理证明线面平行。同时结合前两问的结论，作出几何体的高。