Question

9．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数
（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．
（2）证明$g（x）={（{\frac{1}{4}}）^x}$是T倍周期函数，且T的值是唯一的．
（3）若f（n）（n∈N^*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=-4，S_n表示f（n）的前n 项和，C_n=$\frac{{{S_{2n}}}}{{{S_{2n-1}}}}$，若C_n＜log_a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据定义设：h（x+T）=T•h（x），得出x+T=T•x对任意x恒成立，显然不成立；
（2）根据定义设：h（x+T）=T•h（x），得出 ${（{\frac{1}{4}}）^{x+T}}=T•{（{\frac{1}{4}}）^x}$对任意x恒成立，可得   ${（{\frac{1}{4}}）^T}=T$，求解T，并判断唯一性即可；
（3）若f（n）是2倍周期函数，f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，f（4）=f（2+2）=2f（2）=-8，同理可求出f（2n-1）=f（2n-3+2）=2f（2n-3）=2^n-1，进而求出，${C_n}=\frac{{{S_{2n}}}}{{{S_{2n-1}}}}=\frac{{3（{{2^n}-1}）}}{{{2^n}-3}}$，通过比值判断C_n的单调性，进而求出C_n的最大值，最后得出log_a（a+1）＞-1，分别讨论a的不同情况，求出a的取值范围．

解答 （1）设：h（x+T）=T•h（x）
则 x+T=T•x对任意x恒成立                   （2分）
∵T无解
∴h（x）=x不是T倍周期函数                     （2分）
（2）设：g（x+T）=T•g（x）
则 ${（{\frac{1}{4}}）^{x+T}}=T•{（{\frac{1}{4}}）^x}$对任意x恒成立              （2分）
${（{\frac{1}{4}}）^T}=T$，
$T=\frac{1}{2}$（2分）
下证唯一性：
若$T＞\frac{1}{2}$，$T={（{\frac{1}{4}}）^T}＜{（{\frac{1}{4}}）^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}$矛盾
若$T＜\frac{1}{2}$，$T={（{\frac{1}{4}}）^T}＞{（{\frac{1}{4}}）^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}$矛盾
∴$T=\frac{1}{2}$是唯一的                                         （2分）
（3）f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，
f（5）=f（3+2）=2f（3）=2²
f（7）=f（5+2）=2f（5）=2³…
f（2n-1）=f（2n-3+2）=2f（2n-3）=2^n-1
f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1         （2分）
同理：f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）=-4（1+2+2²+…+2^n-1）=-4（2ⁿ-1）
∴${S_{2n}}=f（1）+f（2）+…+f（{2n}）=-3（{{2^n}-1}）$
同理：${S_{2n-1}}=f（1）+f（2）+…+f（{2n-1}）=-{2^n}+3$，
${C_n}=\frac{{{S_{2n}}}}{{{S_{2n-1}}}}=\frac{{3（{{2^n}-1}）}}{{{2^n}-3}}$（2分）
C₁=-3C₂=9
显然：n≥2C_n＞0且    $\frac{{{C_{n+1}}}}{C_n}=\frac{{\frac{{3（{{2^{n+1}}-1}）}}{{{2^{n+1}}-3}}}}{{\frac{{3（{{2^n}-1}）}}{{{2^n}-3}}}}=\frac{{2{{（{2^n}）}^2}-7•（{2^n}）+3}}{{2{{（{2^n}）}^2}-5•（{2^n}）+3}}$
∵2（2ⁿ）²-7•（2ⁿ）+3＜2（2ⁿ）²-5•（2ⁿ）+3
∴$\frac{{{C_{n+1}}}}{C_n}＜1$即单调递减
∴（C_n）_max=C₁=9                  （2分）
∵C_n＜log_a（a+1）+10恒成立，
∴log_a（a+1）+10＞（C_n）_max=9
∴log_a（a+1）＞-1
①a＞1时    $a+1＞\frac{1}{a}$解得：a＞1
②0＜a＜1时  $a+1＜\frac{1}{a}$解得：$0＜a＜\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$，
∴$0＜a＜\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$或   a＞1                                 （2分）

点评 本题综合性强，考查了对新定义的理解，利用新定义，结合数列解决恒成立问题．属于难度较大的题型．