Question

已知关于x的函数y=

x2+1+c

x2+c

（1）若c=-1，求该函数的值域．
（2）当c满足什么条件时，该函数的值域为[2，+∞）？说明你的理由．
（3）求证：若c＞1，则y≥

1+c

c

．

Answer 1

分析：（1）换元法：令t=

x2-1

，则利用基本不等式即可得到值域；
（2）使函数有意义，再利用不等式，
即可得到函数的值域为[2，+∞）时，c需满足的条件；
（3）换元后，做差来比较y与

1+c

c

的大小关系．

解答：解：由于y=

x2+1+c

x2+c

，若令t=

x2+c

，则y=t+

1

t

（1）当c=-1时，t=

x2-1

＞0
则y=

x2+1-1

x2-1

=t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2
当且仅当t=

1

t

即x=±

2

时等号成立，
∴该函数的值域为[2，+∞）；
（2）当c≤1时，该函数的值域为[2，+∞）．理由如下：
y=t+

1

t

（t＞0），
∴y≥2
当且仅当t=

1

t

即x=±

1-c

时等号成立，
∴该函数的值域为[2，+∞）；
（3）证：由于y=t+

1

t

(t≥

c

)
则y-

1+c

c

=

t2+1

t

-

1+c

c

=

c t2+ c -t-ct

c •t

═

( c t-1)(t- c )

c •t

∵t≥

c

，∴t-

c

≥0
又由

c

t≥c＞1，∴

c

t-1＞0
∴y≥

1+c

c

（当且仅当x=0时等号成立）

点评：本题考查了函数值域的求法，换元后利用基本不等式解决简单的求值域问题要熟练掌握．