Question

已知关于x的函数y=f(x)=a

x

3

+b

x

2

+cx+d，x∈R（a，b，c，d为常数且a≠0），f'（x）=0是关于x的一元二次方程，根的判别式为△，给出下列四个结论：
①△＜0是y=f（x）在（-∞，+∞）为单调函数的充要条件；
②若x₁、x₂分别为y=f（x）的极小值点和极大值点，则x₂＞x₁；
③当a＞0，△=0时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
④当c=3，b=0，a∈（0，1）时，y=f（x）在[-1，1]上单调递减．
其中正确结论的序号是

 

．（填写你认为正确的所有结论序号）

Answer 1

分析：根据函数单调性与其导数之间的关系，可得①不正确，而③是正确的；当a＞0且f'（x）=0有两个不相等的实数根时，可得极小值对应的x比极大值对应的x大，故②不正确；当c=3，b=0，a∈（0，1）时，可得f'（x）≥3恒为正数，因此函数y=f（x）在[-1，1]上单调递增，故④不正确．

解答：解：对于①，y=f（x）在（-∞，+∞）为单调函数的充要条件是f'（x）恒为正负数或非正数，故△≤0，可得①不正确；
对于②，当a＞0时，设x₂，x₁是方程f'（x）=0的两个根，可得f'（x）在（-∞，x₂）和（x₁，+∞）上符号为正，在（x₂，x₁）上符号为负，因此在（-∞，x₂）和（x₁，+∞）上f（x）为增函数，在（x₂，x₁）上为减函数，故x₁、x₂分别为y=f（x）的极小值点和极大值点，但x₂＜x₁，因此②不正确；
对于③，当a＞0，△=0时，f'（x）在R上恒为非负数，因此函数f（x）没有减区间，故f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，得到③正确；
对于④，当c=3，b=0时，f'（x）=3ax²+3，因为a∈（0，1）为正数，可得f'（x）=3ax²+3≥3恒为正数，所以y=f（x）在R上单调递增，故y=f（x）在[-1，1]上也单调递增，故④不正确．
故答案为：③

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了对数函数的单调性与导数的关系和三次多项式函数的单调性等概念，属于中档题．