Question

已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有。
（1）求数列、的通项公式;
（2）令.
①求证:；
②若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围.

Answer 1

（1），；（2）。

试题分析：（1）根据利用求出数列的递推关系式，再利用累乘法数列的通项公式；（2）利用错位相减法求出，易知，再根据数列的单调性可知；  
（3）把代入整理得，然后参变量分离
得，构造函数，求的最大值，或者是直接构造函数
，然后对二次项系数进行讨论，转化为求二次函数最值问题。
（1）,
∵，∴ ()，
两式相减得，()
∴，即( ),     
∴()，
又,也满足上式，故数列的通项公式()。
由，知数列是等比数列，其首项、公比均为，
∴数列的通项公式。
（2）（1）∴    ①
∴         ②
由①-②,得,
∴ 
又恒正,
故是递增数列,， ∴ 。
又不等式
即，即（）恒成立.
方法一：设（），
当时，恒成立，则满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时，由于对称轴，则在上单调递减，
恒成立，则满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是。
方法二：也即（）恒成立，
令．则,  
由，单调递增且大于0，∴单调递增，
当时，，且，故，∴实数λ的取值范围是。   及累乘法求数列的通项公式；（2）利用错位相减法进行数列求和；（3）数列单调性的判断；（4）构造函数解决不等式恒成立问题。