Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且满足2S_n＝＋n－4.
(1)求证{a_n}为等差数列；
(2)求{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）见解析  （2）a_n＝n＋2.

解：(1)证明：当n＝1时，
有2a₁＝＋1－4，即－2a₁－3＝0，
解得a₁＝3(a₁＝－1舍去)．
当n≥2时，有2S_n－1＝＋n－5，
又2S_n＝＋n－4，
两式相减得2a_n＝－＋1，
即－2a_n＋1＝，
也即(a_n－1)²＝，
因此a_n－1＝a_n－1或a_n－1＝－a_n－1.
若a_n－1＝－a_n－1，则a_n＋a_n－1＝1，
而a₁＝3，
所以a₂＝－2，这与数列{a_n}的各项均为正数相矛盾，
所以a_n－1＝a_n－1，即a_n－a_n－1＝1，
因此{a_n}为等差数列．
(2)由(1)知a₁＝3，d＝1，所以数列{a_n}的通项公式a_n＝3＋(n－1)＝n＋2，即a_n＝n＋2.