Question

（本题满分14分）
如图，已知椭圆=1(a＞b＞0)，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上的顶点，直线AF₂交椭圆于另 一点B.

(1)若∠F₁AB=90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．

Answer 1

（1）e＝.（2）

试题分析：解：(1)若∠F₁AB＝90°，则△AOF₂为等腰直角三角形，所以有OA＝OF₂，
即b＝c.所以a＝c，e＝.
(2)由题知A(0，b)，F₁(－c,0)，F₂(c,0)，
其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，
y＝，即B(，)．
将B点坐标代入，得，
即，
解得a²＝3c².①
又由·＝(－c，－b)·(，)＝
⇒b²－c²＝1，
即有a²－2c²＝1.②
由①，②解得c²＝1，a²＝3，从而有b²＝2.
所以椭圆方程为.
点评：解决的关键是根据椭圆的定义以及三角形的性质得到a,b,c的关系式，同时结合向量的数量积来秋季诶得到其方程，属于基础题。