Question

已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围.

Answer 1

(1)  (2)采用联立方程组结合韦达定理和中点公式来证明。
(3)

试题分析：(1) ; () 由方程组
,消y得方,因为直线交圆于、两点,所以D>0,即,设C(x₁ ,y₁ )、D(x₂ ,y₂ , D中点坐标为(x₀ ,y₀ ),则,由方组,消y得方(k₂ -k₁ )xp,又因为,所以,故E为CD的中点;
(3) 作点P₁、P₂的步骤:°求出PQ的中点,2°求出直线OE的斜率,3由知E为CD的中点,根据()可得CD的斜率,4°从而得直线CD的方程:, 5°将直线CD与圆
Γ的方程联立,方程组的解即为点P₁ P₂的坐标.
使P₁、P₂存在,必须点在椭圆内,所以,化简得,,又0<q <p,即,所以,故q 的取值范围是.
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提是要求学生对基础知识有相当熟练的把握。