Question

已知函数f（x）=-x（0＜x＜）。
（1）求f（x）的导数f′（x）；
（2）求证：不等式sin³x＞x³cosx在（0，]上恒成立；
（3）求g（x）=（0＜x≤）的最大值。

Answer 1

解：（1）；
（2）由（1）知，其中f（0）=0，
令f′（x）=G（x），对G（x）求导数得G′（x）

=
在x∈（0，）上恒成立，
故G（x）即f（x）的导函数在（0，）上为增函数，
故f′（x）＞f′（0）=0，
进而知f（x）在（0，）上为增函数，
故f（x）＞f（0）=0，
当x=时，sin³x＞x³cosx显然成立，
于是有sin³x-x³cosx＞0在（0，]上恒成立；
（3）∵由（2）可知sin³x-x³cosx＞0在（0，]上恒成立，
则在（0，]上恒成立，
即g（x）在（0，]单增，
于是g（x）≤g（）=，
故g（x）=（0＜x≤）的最大值为。