Question

对一切正整数n，不等式

b

1-b

＜

n+1

n+2

恒成立，则B的范围是

b＜

2

5

或b＞1

．

Answer 1

分析：利用函数的单调性求出

n+1

n+2

的最小值，把不等式转化为

b

1-b

＜

2

3

，求解分式不等式即可得到实数b的取值范围．

解答：解：因为函数函数f（x）=

x+1

x+2

=1-

1

n+2

在（0，+∞）上为增函数，
所以对一切正整数n，当n=1时

n+1

n+2

有最小值

2

3

，
所以不等式

b

1-b

＜

n+1

n+2

等价于

b

1-b

＜

2

3

．
即

b

1-b

-

2

3

＜0，

3b-2+2b

3(1-b)

＜0，解得b＜

2

5

或b＞1．
故答案为b＜

2

5

或b＞1．

点评：本题考查了不等关系与不等式，考查了利用函数的单调性求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是中档题．