Question

对一切正整数n，不等式bn+2b＜n+1恒成立，则b的范围是

(-∞，

2

3

)

．

Answer 1

分析：由不等式bn+2b＜n+1对一切正整数n恒成立可得b＜

n+1

n+2

对一切正整数n恒成立，令f（n）=

n+1

n+2

，则由数列的单调性可得f（n+1）＞f（n）＞f(n-1)＞…f(1)=

2

3

，从而可得b＜f（1）可求

解答：解：因为不等式bn+2b＜n+1对一切正整数n恒成立，
所以，b＜

n+1

n+2

对一切正整数n恒成立，
令f（n）=

n+1

n+2

，则f(n+1)-f(n+1)=

n+2

n+3

-

n+1

n+2

=

1

(n+2)(n+3)

＞0；
∴f（n+1）＞f（n）＞f(n-1)＞…f(1)=

2

3

，
∴b＜

2

3

故答案为：(-∞，

2

3

)

点评：本题主要考查了恒成立问题与最值的相互转化，要注意数列单调性在解题中的应用．