Question

11．在△ABC中，b²-a²=$\frac{{c}^{2}}{2}$，∠A=$\frac{π}{4}$，求tanC．

Answer 1

分析 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos$\frac{π}{4}$，已知b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．可得b=$\frac{3\sqrt{2}c}{4}$，a=$\frac{\sqrt{10}}{4}$c．利用余弦定理可得cosC．可得sinC，即可得出tanC=$\frac{sinC}{cosC}$．

解答 解：∵A=$\frac{π}{4}$，
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos$\frac{π}{4}$，
∴b²-a²=$\sqrt{2}$bc-c²，
又b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．
∴$\sqrt{2}$bc-c²=$\frac{1}{2}$c²．
∴$\sqrt{2}$b=$\frac{3}{2}$c．可得b=$\frac{3\sqrt{2}c}{4}$，
∴a²=b²-$\frac{1}{2}$c²=$\frac{5}{8}$c²，即a=$\frac{\sqrt{10}}{4}$c．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵C∈（0，π），
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=2．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．