Question

已知函数f（x）=．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，|x_i|＞（i=1，2，3）．求证：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞2．

Answer 1

解：整理得：f（x）=ax+
（1）当a≤0时，f（x）的减区间为（-∞，0）和（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的减区间为（-，0）和（0，），增区间为（-∞，-）和（，+∞）…（5分）
（2）由条件知：x₁，x₂，x₃中至多一个负数． …（6分）
（ⅰ）若x₁，x₂，x₃都为正数，由（1）可知|x_i|＞时，f（|x_i|）＞f（）=2 （i=1，2，3）
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞6＞2 …（9分）
（ⅱ）若x₁，x₂，x₃中有一负数，不妨设x₃＜0．
∵x₂+x₃＞0且|x₃|＞，
∴x₂＞-x₃＞
∴f（x₂）＞f（-x₃）=-f（x₃）（∵f（x）为奇函数）
∴f（x₂）+f（x₃）＞0
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞f（x₁）＞f（）=2 …（11分）
综上，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞2．…（12分）
分析：（1）整理得：f（x）=ax+，再对字母a进行分类讨论：当a≤0时，当a＞0时，分别得出f（x）的单调区间即可；
（2）由条件知：x₁，x₂，x₃中至多一个负数． 再分类讨论：（ⅰ）若x₁，x₂，x₃都为正数；（ⅱ）若x₁，x₂，x₃中有一负数，最后综合得到f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞2．
点评：本题考查了函数的奇偶性，以及利用函数单调性进行求解最值，考查了学生的计算能力，属于中档题．