Question

已知二项式（2+x）ⁿ的展开式中，x³的系数为160，则展开式中常数项为______．

Answer 1

∵（2+x）ⁿ的展开式的通项为Tr+1=

C

rn

2n-rxr
令r=3可得，T4=

C

3n

2n-3x3
∴

C

3n

2n-3=160
即

n(n-1)(n-2)

6

2n-3=160
∴n（n-1）（n-2）•2^n-3=2⁶×5×3=960
结合式子两边的特点可知，n（n-1）（n-2）一定是5的倍数
当n=5时，左边60•2³≠2⁶×15=右面，舍去
当n-1=5即n=6时，左边=120•2³=960=右面，符合题意
当n-2=5即n=7时，左边=210×2⁴≠960，不符合题意
综上可得，n=6
令r=0可得，常数项为

C

0n

2n=2⁶=64，
故答案为64