Question

如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行
四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，
且tanθ=

3

2

．
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求V（x）的表达式；
（3）当V（x）取得最大值时，求二面角D-AB-C的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证平面ACD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACD垂直，DE⊥平面ADC，DE?平面ADE，满足定理所需条件；
（2）根据线面所成角的定义可知∠EAB为AE与平面ABC所成的角，在Rt△ABE中，求出BE，在Rt△ABC中求出AC，最后根据三棱锥的体积公式求出体积即可；
（3）利用基本不等式可知当V（x）取得最大值时AC=

2

，这时△ACB为等腰直角三角形，连接CO，DO，根据二面角的平面角的定义可知∠DOC为二面角D-AB-C的平面角在Rt△DCO中求出此角即可．

解答：解：（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形∴CD∥BE，BC∥DE（1分）
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC∴DC⊥BC．（2分）
∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC且DC∩AC=C
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC（3分）
又∵DE?平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE（4分）
（2）∵DC⊥平面ABC∴BE⊥平面ABC
∴∠EAB为AE与平面ABC所成的角，即∠EAB=θ（5分）
在Rt△ABE中，由tanθ=

BE

AB

=

3

2

，AB=2得BE=

3

（6分）
在Rt△ABC中∵BC=

AB2-AC2

=

4-x2

（0＜x＜2）
∴S△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x

4-x2

（7分）
∴V(x)=VC-ABE=VE-ABC=

1

3

S△ABC•BE=

3

6

x

4-x2

（0＜x＜2）（8分）
（3）由（2）知0＜x＜2
要V（x）取得最大值，当且仅当x

4-x2

=

x2(4-x2)

取得最大值，
∵x2(4-x2)≤(

x2+4-x2

2

)2=4（9分）
当且仅当x²=4-x²，即x=

2

时，“=”成立，
∴当V（x）取得最大值时AC=

2

，这时△ACB为等腰直角三角形（10分）
连接CO，DO
∵AC=BC，DC=DC
∴Rt△DCA≌Rt△DCB∴AD=DB
又∵O为AB的中点∴CO⊥AB，DO⊥AB
∴∠DOC为二面角D-AB-C的平面角（12分）
在Rt△DCO中∵CO=

1

2

AB=1，DC=BE=

3

∴tan∠DOC=

DC

CO

=

3

，∴∠DOC=60°
即当V（x）取得最大值时，二面角D-AB-C为60°．（14分）

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及体积和二面角的定理等有关知识，求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角．