Question

如下图所示,作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,求前n个内切圆的面积和.

Answer 1

解:设第n个正三角形的内切圆的半径为a_n.

    因为从第2个正三角形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的,每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的,故a₁=atan30°=a×=a,a₂=a₁,…,a_n=a_n-1.

∴数列{a_n}是首项为a,公比为的等比数列.∴a_n=×()^n-1a.

    设前n个内切圆的面积和为S_n,则

S_n=π(a₁²+a₂²+…+a_n²)=πa₁²［1+()²+()²+()²］=πa₁²［1+()+()²+…+()^n-1］=×(1-)π=(1-)π.

    答:前n个内切圆的面积和是(1-)π.