Question

若a＞l，设函数f（x）=a^x+x-4的零点为m，函数g（x）=log_ax+x-4的零点为n，则

1

m

+

1

n

的最小值为（　　）

Answer 1

分析：构建函数F（x）=a^x，G（x）=log_ax，h（x）=4-x，则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n，注意到F（x）=a^x，G（x）=log_ax，关于直线y=x对称，可得m+n=4，再用“1”的代换，利用基本不等式，即可得出结论．

解答：解：由题意，构建函数F（x）=a^x，G（x）=log_ax，h（x）=4-x，
则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n，
注意到F（x）=a^x，G（x）=log_ax，关于直线y=x对称，可以知道A，B关于y=x对称，
由于y=x与y=4-x交点的横坐标为2，
∴m+n=4，
∴

1

m

+

1

n

=

1

4

（

1

m

+

1

n

）（m+n）=

1

4

（2+

n

m

+

m

n

）≥

1

4

(2+2

n m • m n

)=1，当且仅当m=n时取等号，
∴

1

m

+

1

n

的最小值为1．
故选A．

点评：本题考查函数的零点，考查基本不等式的运用，考查学生分析转化问题的能力，求出m+n=4，正确运用基本不等式是关键．