Question

一个几何体是由圆柱ADD₁A₁和三棱锥E-ABC组合而成，点A、B、C在圆柱上底面圆O的圆周上，EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，其正视图、侧视图如图所示．

（1）求证：AC⊥BD；
（2）求锐二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中EA⊥平面ABC，由线面垂直的性质可得ED⊥AC，结合AC⊥AB，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面EBD，再由线面垂直的性质得到AC⊥BD；
（2）分别求出平面ABD与平面BCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-BD-C的平面角的大小．

解答：解：（1）证明：因为EA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．
又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，
所以AC⊥平面EBD．
因为BD?平面EBD，
所以AC⊥BD．…（5分）
（2）设n=（x，y，z）是平面BCD的法向量，因为

BC

=(0，-4，0)，
所以

n• BC =0 n• DB =0.

即

-4y=0 2x+2y+2z=0.

取z=-1，则n=（1，0，-1）是平面BCD的一个法向量．
由（1）知，AC⊥BD，又因为AC⊥AB，AB∩BD=B，
所以AC⊥平面ABD．
所以

AC

=(2，-2，0)是平面ABD的一个法向量．
因为cos?n，

AC

＞=

n• AC

|n|•| AC |

=

2

2 ×2 2

=

1

2

，
所以?n，

AC

＞=60°．
而?n，

AC

＞等于二面角A-BD-C的平面角，
所以二面角A-BD-C的平面角大小为60°．…（12分）

点评：本题考查的知识点是由几何体的结构特征得到线线垂直，进而建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．