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一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E-ABC组合而成,点A、B、C在圆O的圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12,如图2所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AE=2.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)求三棱锥E-BCD的体积.

【答案】分析:(1)由已知中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,结合线面垂直的定义及线面垂直的判定定理,我们易求出AC⊥平面EBD,进而得到答案.
(2)要求三棱锥E-BCD的体积,我们有两种办法,
方法一是利用转化思想,将三棱锥E-BCD的体积转化为三棱锥C-EBD的体积,求出棱锥的高和底面面积后,代入棱锥体积公式,进行求解;
方法二是根据VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC,将棱锥的体积两个棱次的体积之差,求出两个辅助棱锥的体积后,得到结论.
解答:(1)证明:因为EA⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC.
又因为AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.
因为BD?平面EBD,所以AC⊥BD.(4分)
(2)解:因为点A、B、C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,所以BC为圆O的直径.
设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,
(6分)
解得
所以BC=4,
以下给出求三棱锥E-BCD体积的两种方法:
方法1:由(1)知,AC⊥平面EBD,
所以.(10分)
因为EA⊥平面ABC,AB?平面ABC,
所以EA⊥AB,即ED⊥AB.
其中ED=EA+DA=2+2=4,因为AB⊥AC,
所以.(13分)
所以.(14分)
方法2:因为EA⊥平面ABC,
所以.(10分)
其中ED=EA+DA=2+2=4,因为AB⊥AC,
所以.(13分)
所以.(14分)
点评:本题考查的知识点是棱锥的体积公式,简单空间图形的三视图,直线与平面垂直的性质,其中根据已知中三视图的体积,判断出几何体中相关几何量的大小,结合已知中其中量,进而判断出线面关系是解答本题的关键.
练习册系列答案
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