Question

如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，F是A₁C₁的中点．
（1）求证：BC₁∥平面AFB₁；  
（2）求证：平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（1）连接A₁B与AB₁交于点E，连接EF．利用正三棱柱的性质可得四边形ABB₁A₁是矩形，得A₁E=EB．再利用三角形的中位线定理可得EF∥BC₁．利用线面平行的判定定理可得BC₁∥平面AFB₁；  
（2）利用正三棱柱的性质可得AA₁⊥底面A₁B₁C₁，因此AA₁⊥B₁F．利用正三角形的性质及F是边A₁C₁的中点，可得B₁F⊥A₁C₁．利用线面垂直的判定定理可得B₁F⊥平面ACC₁A₁，再利用面面垂直的判定可得平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁．

解答：证明：（1）连接A₁B与AB₁交于点E，连接EF．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得四边形ABB₁A₁是矩形，∴A₁E=EB．
又A₁F=FC₁，∴EF∥BC₁．
∵EF?平面AB₁F，BC₁?平面AB₁F，
∴BC₁∥平面AFB₁；  
（2）由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥B₁F．
由F是正△A₁B₁C₁的A₁C₁的中点，∴B₁F⊥A₁C₁．
又A₁A∩A₁C₁=A₁，∴B₁F⊥平面ACC₁A₁，
∴平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁．

点评：本题综合考查了正三棱柱的性质、线面垂直与平行的判定与性质、面面垂直的判定定理、三角形的中位线定理、矩形的性质等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力．