Question

如图，在正三棱柱（底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱）ABC―A₁B₁C₁中，F是A₁C₁的中点，

 （1）求证：BC₁//平面AFB₁ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

（2）求证：平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁

（3）作出平面AFB₁与平面BCC₁B₁ 的交线

 

 

Answer 1

解析：（1）连A₁B交A B₁于点G，连接GF

        ∵正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的侧面A₁B₁ BA是矩形

        ∴对角线互相平分，即点G为A₁B的中点

        又△A₁BC₁中，点F是A₁C₁的中点

        ∴GF是△A₁BC₁的中位线，即GF∥B C₁ ……2分

        又B C₁平面AF B₁，GF平面AF B₁ ……4分

        ∴B C₁∥平面A F B₁ ……5分

   （2）∵三棱柱ABC―A₁B₁C₁为正三棱柱

        ∴A A₁⊥平面A₁B₁C₁

        又B₁F平面A₁B₁C₁， ∴B₁F⊥A A₁

        又点F为正△A₁B₁C₁边A₁C₁上的中点

        ∴B₁F⊥A₁C₁ ……7分

        又直线A₁C₁、A A₁是平面AC C₁A₁中的两相交直线

        ∴B₁F⊥平面AC C₁A₁ ……9分

        又B₁F平面A F B₁

        ∴平面A F B₁⊥平面AC C₁A₁ ……10分

（3）延长AF交CC₁的延长线于点H，连接B₁H，则直线B₁H就是平面AFB₁与平面BCC₁B₁ 的交线。……12分

证明如下：

       ∵点B₁和H为平面AFB₁与平面BCC₁B₁ 的公共点

       ∴B₁H平面AFB₁，B₁H平面BCC₁B₁

       ∴平面AFB₁平面BCC₁B₁ = B₁H

即B₁H就是平面AFB₁与平面BCC₁B₁ 的交线  ……14分w