Question

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为  (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.

Answer 1

解：(1)由ρ＝2sin θ，得x²＋y²－2y＝0，

即x²＋(y－)²＝5.                 -----------5分

(2)法一：将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，

得(3－t)²＋(t)²＝5，   

即t²－3t＋4＝0.

由于Δ＝(3)²－4×4＝2>0，故可设t₁，t₂是上述方程的两实根，

所以

又直线l过点P(3，)，

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t₁|＋|t₂|＝t₁＋t₂＝3.-----------10分

(2)法二：因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝，

直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋.

由得x²－3x＋2＝0.

解得：

不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)，

又点P的坐标为(3，)，

故|PA|＋|PB|＝＋＝3.                         -----------10分