Question

已知向量

OA

=(λcosα，λsinα)（λ≠0），

OB

=(-sinβ，cosβ)，

OC

=(1，0)，其中O为坐标原点．
（1）若λ=2，α=

π

3

，β∈（0，π），且

OA

⊥

BC

，求β；
（7）若|

AB

|≥2|

OB

|对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据给出的λ和α的值，求出向量

OA

，由向量的坐标差求出向量

BC

，最后由向量垂直的坐标表示可解得β的值；
（2）把向量

AB

和

OB

的模代入后得到关于λ的不等式λ²+1+2λsin（β-α）≥4，把不等式左边看作关于λ的二次函数，分λ＞0和λ＜0求出函数的最小值，让最小值大于等于4可求解λ的范围．

解答：解：（1）若λ=2，α=

π

3

，则

OA

=(1，

3

)，

BC

=(1+sinβ，-cosβ)，
由

OA

⊥

BC

，得：1+sinβ-

3

cosβ=0，即1+2sin(β-

π

3

)=0，
所以sin(β-

π

3

)=-

1

2

，因为-

π

3

＜β-

π

3

＜

2π

3

，所以β-

π

3

=-

π

6

，所以β=

π

6

．
（2）若|

AB

|≥2|

OB

|对任意实数α，β都成立，则（λcosα+sinβ）²+（λsinα-cosβ）²≥4对任意实数α，β都成立，
即λ²+1+2λsin（β-α）≥4对任意实数α，β都成立，
所以，

λ＞0 λ2+1-2λ≥4

或

λ＜0 λ2+1+2λ≥4

，解得：λ≥3或λ≤-3，
所以实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

点评：本题考查了向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的模，考查计算能力，数学转化思想和函数思想，是中等难度的题目．