Question

4．过点P（-1，0）作曲线C：y=e^x的切线，切点为T₁，设T₁在x轴上的投影是点H₁，过点H₁再作曲线C的切线，切点为T₂，设T₂在x轴上的投影是点H₂，依次下去，得到第n+1（n∈N）个切点T_n+1，则点T₂₀₁₅的坐标为（2014，e²⁰¹⁴）．

Answer 1

分析 设T₁（x₁，${e}^{{x}_{1}}$），可得切线方程代入点P坐标，可解得x₁=0，即T₁（0，1），可得H₁（0，0），求出切线方程代入点H₁（0，0），可得T₂（1，e），H₂（1，0），…，由此可推得规律，从而可得结论．

解答 解：设T₁（x₁，${e}^{{x}_{1}}$），此处的导数值为${e}^{{x}_{1}}$，
故切线方程为y-${e}^{{x}_{1}}$=${e}^{{x}_{1}}$（x-x₁），代入点P（-1，0），
可得0-${e}^{{x}_{1}}$=${e}^{{x}_{1}}$（-1-x₁），解得x₁=0，
即T₁（0，1），H₁（0，0），
同理可得过点H₁再作曲线C的切线方程为y-${e}^{{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{2}}$（x-x₂），
代入点H₁（0，0），
可得0-${e}^{{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{2}}$（0-x₂），
可解得x₂=1，故T₂（1，e），H₂（1，0），
…
依次下去，可得T₂₀₁₅的坐标为（2014，e²⁰¹⁴）
故答案为：（2014，e²⁰¹⁴）．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，归纳推理是解决问题的关键，属中档题．