Question

已知数列{a_n}中，a₁=0，，n∈N^*．
（1）求证：是等差数列；并求数列{a_n}的通项公式；
（2）假设对于任意的正整数m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，则称该数列为“ω域收敛数列”．试判断：数列，n∈N^*是否为一个“域收敛数列”，请说明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题中所给出的等式，求数列的相邻两项的差，并将这个差进行化简，最终得出这个差等于-1，得出数列是公差为-1的等差数列，则不难通过数列求出数列{a_n}的通项公式；
（2），说明数列{b_n}的奇数项为负数，偶数项为正数．通过作差：|b_n+1|-|b_n|，化简得|b_n+1|-|b_n|=，讨论得当n=3时，|b₃|是数列{|b_n|}的最大项，但是b₃＜0，说明b₃是{b_n}最小的项，而在正数项中，绝对第二大的项可能是b₂或b₄，通过作差比较可得b₂是数列{b_n}的最大项．在此基础之上不难用定义：对于任意的正整数m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，则称该数列为“ω域收敛数列”，证明数列{b_n}是一个“域收敛数列”了．
解答：证：（1）因为，
所以，n∈N^*；
故是等差数列．
由此可得，，
所以，n∈N^*．
（2）由条件，
可知当n=2k，b_n＞0；当n=2k-1时，b_n≤0，k∈N^*．
令，则=．
∴当-n²+5＞0⇒n≤2时，|b_n+1|＞|b_n|；
同理可得，当-n²+5＜0⇒n≥3时，|b_n+1|＜|b_n|；
即数列{|b_n|}在n=1，2，3时递增；n≥4时，递减；
即|b₃|是数列{|b_n|}的最大项．
然而，因为{b_n}的奇数项均为-|b_n|，故为数列{b_n}的最小项；
而，，
所以b₂＞b₄，故b₂是数列{b_n}的最大项．
∴对任意的正整数m、n，，
∴数列，n∈N^*是一个“域收敛数列”．
点评：本题是一道由一个数列为基础，同时考查了函数不等式的相关知识，属于难题．着重考查数列的性质和应用，解题时要注意认真审题，仔细计算．