Question

已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线C₁的内切圆半径为．记C₂为以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆C₂中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．
（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；
（2）若M是l与椭圆C₂的交点，求△AMB的面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用封闭图形的面积为，曲线C₁的内切圆半径为，求出a、b的值，待定系数法写出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx，代入椭圆的方程，用k表示|OA|的平方，
由|MO|²=λ²|OA|²，得到|MO|²．再用k表示直线l的方程，并解出k，把解出的k代入|MO|² 的式子，消去k得到
M的轨迹方程．当k=0或不存在时，轨迹方程仍成立．
（2）当k存在且k≠0时，由（1）得，，同理求出点M的横坐标的平方、纵坐标的平方，
计算出AB的平方，计算出|MO|²，可求出三角形面积的平方，使用基本不等式求出面积的最小值，再求出当k不存在
及k=0时三角形的面积，比较可得面积的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得 ，又a＞b＞0，解得  a²=5，b²=4．
因此所求椭圆的标准方程为    ．
（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（x_A，y_A）．
解方程组得，，
所以．
设M（x，y），由题意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），
所以|MO|²=λ²|OA|²，即，
因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为，即，
因此，
又x²+y²≠0，所以5x²+4y²=20λ²，故．
又当k=0或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，M的轨迹方程为．
（2）当k存在且k≠0时，由（1）得，，
由
解得，，
所以，，．
由于===，
当且仅当4+5k²=5+4k²时等号成立，即k=±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是．
当k=0，．
当k不存在时，．
综上所述，△AMB的面积的最小值为．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，参数法求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系的应用．