Question

（本小题满分14分）

已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．

（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）（1）

（2）

解析:

（Ⅰ）由题意得又，解得，．

因此所求椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为

，．

解方程组得，，

所以．

设，由题意知，

所以，即，

因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，

因此，

又，所以，故．

又当或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，的轨迹方程为．

（2）当存在且时，由（1）得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：由于

，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，

此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

解法二：因为，

又，，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，

此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．