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    已知圆N:（x+2）2+y2=8和抛物线C: y2= 2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B.

    （I）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；

    （II）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l，使得?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

     

    【答案】

     （1） .（2）.

    【解析】(I)直线l的方程为y=x+m,根据直线l与圆相切，求出m值，然后再与抛物线方程联立，根据弦长公式求出AB的值。

    （II）由于点M与点N关于直线y=x对称，从而可求出M的坐标，然后利用,把此条件用坐标表示出来，借助韦达定理建立关于k的方程，求出k值，再验证是否满足判别式大于零

    因为圆N：，所以圆心N为（-2,0），半径，

    ………1分

    设，，

      （1）当直线的斜率为1时，设的方程为即，因为直线是圆N的切线，所以，解得或（舍去）

             此时直线的方程为， ………………3分

    由 消去得，所以，，，

    所以弦长 .……………………6分

    （2）①设直线的方程为即（），

              因为直线是圆N的切线，所以，

    得  ①………………8分

    由 消去得 ，

    所以即且， ，.

    因为点M和点N关于直线对称，所以点M为

    所以，，

    因为，所以+ ，……9分

    将A，B在直线上代入化简得，

    .

    代入，得  

    化简得      ………②

    ①+②得

    即，解得或 

           当时，代入①解得，满足条件且，

                 此时直线的方程为；

           当时，代入①整理得 ，无解.………………11分

    ②                当直线的斜率不存在时，因为直线是圆N的切线，所以的方程为，则得，，

    即

           由①得：

           =

      当直线的斜率不存在时不成立.

    综上所述，存在满足条件的直线，其方程为.

     

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    		5
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    		5
    ，0)    ，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足
    NP
    =2
    NQ
    ，
    GQ
    •
    NP
    =0    ．
    （I）求点G的轨迹C的方程；
    （II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设
    OS
    =
    OA
    +
    OB
    ，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

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    1
    2
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