Question

已知圆A：(x+2)2+y2=

25

4

，圆B：(x-2)2+y2=

1

4

，动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为x=a（a≤

1

2

）．
（Ⅰ） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，（1）求|MN|的最小值；（2）若MN的中点R在l上的射影Q满足MQ⊥NQ，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据双曲线的定义，可判断所求轨迹为双曲线，再利用双曲线方程的求法求出轨迹C的方程．
（Ⅱ）（1）设出过点B的直线方程，代入双曲线方程，用弦长公式求|MN|的长，再求最小值．
（2）由（1）可得|MN|=

6(1+m2)

1-3m2

，R、Q点的坐标也可用m和a表示R(

2

1-3m2

，

6m

1-3m2

)，Q(a，

6m

1-3m2

)
由MQ⊥NQ，知|RQ|=

1

2

|MN|．从而把a也表示为m的函数，求值域即可得a的范围；也可设直线方程的点斜式，即设出过B直线的斜率k，代入双曲线方程，用焦半径公式求得|MN|，进而用类似思想求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则|PA|=r+

5

2

，|PB|=r+

1

2

，
∴|PA|-|PB|=2．
故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，
其方程为x2-

y2

3

=1（x≥1）．
（Ⅱ）（1）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得（3m²-1）y²+12my+9=0．
由

3m2-1≠0 △＞0 y1y2＜0

，解得-

3

3

＜m＜

3

3

．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则|MN|=

1+m2

|y1-y2|=

6(m2+1)

1-3m2

=2(

4

1-3m2

-1)．
当m²=0时，|MN|_min=6．
（2）由（1）知R(

2

1-3m2

，

6m

1-3m2

)，Q(a，

6m

1-3m2

)．
由MQ⊥NQ，知|RQ|=

1

2

|MN|．
所以

2

1-3m2

-a=

3(m2+1)

1-3m2

，从而a=

3m2+1

3m2-1

=1-

2

1-3m2

．
由-

3

3

＜m＜

3

3

，得a≤-1．
另解：
（1）若MN的斜率存在，设斜率为k，则直线MN的方程为y=k（x-2），代入双曲线方程，得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0．
由

3-k2≠0 △＞0 x1+x2= -4k2 3-k2 ＞0 x1x2=- 4k2+3 3-k2 ＞0.

解得k²＞3．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=6+

24

k2-3

＞6．
当直线斜率不存在时，x₁=x₂=2，得y₁=3，y₂=-3．此时|MN|=6．
所以|MN|_min=6．
（2）当MQ⊥NQ时，|RQ|=

|MN|

2

=x_R-a．①
又

|MB|

xM- 1 2

=

|NB|

xN- 1 2

=2，即

|MB|+|NB|

xM+xN-1

=2，
所以|MN|=4x_R-2，故xR=

|MN|+2

4

．②
将②代入①，得|MN|=2-4a．
由|MN|=2-4a≥6，得a≤-1．

点评：本题综合考查了双曲线的定义、直线与双曲线的相交关系，求相交弦的弦长、中点的方法，焦点弦弦长的求法，设而不求方法的运用，解题需要较强的基本功