Question

已知函数y=

2x-1

x-1

（1）求此函数的值域；
（2）作出此函数的图象（不列表）；
（3）写出此函数的单调区间；
（4）指出此函数图象的对称中心坐标和对称轴方程．

Answer 1

分析：（1）把已知的分式函数变形，使函数式只在分母中含有变量，则函数值域可求；
（2）变形后的函数解析式为y=2+

1

x-1

，该函数的图象是把y=

1

x

的图象先向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到的；
（3）由图象直接写出函数的单调区间；
（4）写出函数y=

1

x

的对称中心和对称轴方程，然后根据平移得到函数y=

2x-1

x-1

的对称中心和对称轴方程．

解答：解：（1）由y=

2x-1

x-1

=

2(x-1)+1

x-1

=2+

1

x-1

，因为

1

x-1

≠0，所以2+

1

x-1

≠2，
所以函数y=

2x-1

x-1

的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）．
（2）函数y=

2x-1

x-1

=2+

1

x-1

，是把y=

1

x

的图象先向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到的，
所以其图象如图，

（3）函数y=

2x-1

x-1

的减区间为（-∞，1），（1，+∞）．
（4）函数y=

2x-1

x-1

的对称中心为（1，2）；
函数y=

2x-1

x-1

=2+

1

x-1

，是把y=

1

x

的图象先向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到的，
而y=

1

x

的对称轴方程是y=x和y=-x，所以函数y=

2x-1

x-1

的对称轴方程是y=（x-1）+2和y=-（x-1）+2，
即为y=x+1和y=-x+3．

点评：本题考查了函数的图象的变化问题，根据函数图象的变化，由熟悉的反比例函数图象得到题中分式函数的图象，从而得到函数的值域、单调区间和对称性，解答此题的关键是对函数解析式的变形，书写单调区间时学生容易取并集而出错，此题是基础题．