Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（Ⅰ）求证：AD⊥CD；
（Ⅱ）若AD=2，AC=

5

，求AB的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BC；根据切线的性质知：OC⊥CD；推出∠DCA=∠B，利用直径上的圆周角等关系推出，∠ADC=90°即可证明结果．
（Ⅱ）连接BC，证△ADC∽△ACB，根据相似三角形得出的对应边成比例线段，可将AB的长求出．

解答：证明：（Ⅰ）连接BC．∵直线CD与⊙O相切于C点，∴∠DCA=∠B，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，
∴∠ADC=∠ACB，
∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CD．
（Ⅱ）∵∠DCA=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=AD•AB，
∵AD=2，AC=

5

，
∴AB=

5

2

．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．