Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）的值；
（2）求证：0＜x＜1时，f（x）＞0；
（3）判断f（x）的单调性并证明之；
（4）若f（

1

2

）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集．

Answer 1

分析：（1）先令x=y=1得到f（1）=0，从而得出f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），f（x）为偶函数；
（2）设x₁＞x₂＞0，得

x1

x2

＞1，结合式子进行变形，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性；（4）
（3）由（1）和（2），结合单调性得0＜x＜1时，f（x）＞f（1）=0；
（4）根据条件将原不等式转化为f[x（2-x）]＜f（

1

2

），结合函数的单调性和定义域可得关于x的不等式，再进行求解．

解答：解：（1）令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
令x=-x、y=1得：f（-x）=f（x）+f（1）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
证明如下：设x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1，
∵当x＞1时f（x）＜0，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）=f（x₂•

x1

x2

）=f（x₂）+f（

x1

x2

），
则f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
（3）由（1）知f（1）=0，
由（2）知，f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
∴0＜x＜1时，f（x）＞f（1）=0，
（4）∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（

1

2

）=2
∴f（x）+f（2-x）＜2化为：f[x（2-x）]＜f（

1

2

），
∵f（x）在（0，+∞）为单调减函数，
∴

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 2

，解得0＜x＜1+

2

2

，
故所求的解集为：（0，1+

2

2

）．

点评：本题考查了利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，求某些点的函数值和证明不等式等，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形，证明函数单调性的能力．