Question

（本小题满分14分）
已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（3）当时，证明．

Answer 1

（1）解：因为，所以．……………………1分
因为函数的图像在点处的切线斜率为3，
所以，即．
所以．………………………………………………………………2分
（2）解：由（1）知，，
∴对任意恒成立，即对任意恒成立．…………3分
令，
则，…………………………………………4分
令，
则，
所以函数在上单调递增．…………………………………5分
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，
即，………………6分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以
．……………7分
所以．
故整数的最大值是3．……………………………………………………8分
（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，……………9分
所以当时，．………………………10分
即．
整理，得
．……………………………11分
因为， 所以．…………………12分
即．
即．…………………………………13分
所以
．…………………………………………………14分
证明2：构造函数
，………………………………9分
则．……………………………10分
因为，所以．
所以函数在上单调递增．………………………11分
因为， 所以．
所以
．…12分
即．
即．
即．…………………………………………13分
所以．……………………………………………14

解析