Question

【题目】首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.
（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
（2）若对一切n∈N*都有an＋1>an ， 求a1的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】

证明：已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得 是奇数．

根据数学归纳法，对任意n∈N*，an都是奇数

（2）

【解答】

由an+1-an=(an-1)(an-3)知

当且仅当an<1或an>3时，an+1>an,

另一方面，若0<ak<1,

则0<ak+1<=1;

若ak>3，则ak+1>.

根据数学归纳法可知，

综上所述，对一切n∈N*，都有an＋1>an的充要条件是0<a1<1或a1>3.

【解析】一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数学归纳法的步骤的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握

1. 步骤:A.命题在n=1（或）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=,且)结论都成立

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