Question

A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为，A与B、A与C的两点间球面距离均为，设球心为O，求球心O到截面ABC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

已知条件中涉及O、A、B、C四个点，将四个点所确定的图形抽象出来，可使问题较为顺利地转化求解．   　　如图所示，O为球心，A、B、C为球面上的三点 　　则AO=BO=CO=1 　　∠AOC=∠AOB=，∠BOC= 　　∴　AC=AB=，BC=1 　　在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC= 　　∴　sin∠BAC= 　　设球半径为R，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为r，则由正弦定理得r= 　　∴　OO′= 　　即球心O到截面ABC的距离为． 　　解法二：题目中涉及到角、垂直、距离等关系，可转换角度，通过构造向量，利用向量法求解． 　　由已知可得： 　　∠AOC=∠AOB=，∠BOC= 　　设=a， =b， =c 　　则|a|=|b|=|c|=1 　　a·b=a·c=0，b·c= 　　设OO′⊥面ABC，O′为垂足 　　则=x+y+z 　　　　　=xa+yb+zc 　　其中x+y+z=1　　① 　　由OO′⊥BC得： 　　· =(xa+yb+zc)·(c-b) 　　　　　　　 =y(b·c-|b|2)+z(|c|2-c·b) 　　　　　　　 =-y+z=0 　　∴　y=z　　　　　　　　　　② 　　由OO′⊥AB得： 　　· =(xa+yb+zc)·(b-a) 　　　　　　　　=-x|a|2+y|b|2+zc·b 　　　　　　　　=-x+y+z 　　　　　　　 =0　　　　　　　　　　　　③ 　　解①、②、③得x=，y=，z= 　　∴　=a+b+c 　　∴　||2=(a+b+c)2 　　　　　　　=(9|a|2+4|b|2+4|c|2+8b·c) 　　　　　　　=(9+4+4+8×)= 　　∴　||= 　　故球心O到面ABC的距离为．