Question

已知三次函数f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）的导数为f′（x）满足条件：
（i）当x∈R时，f′（x-4）=f′（2-x），且f′（x）≥x；
（ii）当x∈（O，2）时，f′（x）≤(

x+1

2

)2；
（iii）f′（x）在R上的最小值为0．数列{a_n}是正项数列，{a_n}的前n项的和是S_n，且满足S_n=f′（a_n）．
（1）求f′（x）的解析式；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）求证：

C 0 n

a1

+

C 1 n

a2

+

C 2 n

a3

+…+

C n n

an+1

≤2n-1•

a1+an+1

a1an+1

．

Answer 1

分析：（1）由已知，f′（x）=ax²+bx+c  由（i）知图象对称轴为x=-1，由（iii）知，x=-1时，y=O，即a-b+c=0，在(

x+1

2

)≥2f′（x）≥x中，令x=1得 f′（1）=1．解相关的方程组即可求出a，b，c．
（2）由（1）S_n=f′（a_n）=

1

4

a

2 n

+

1

2

an+

1

4

．再利用a_n与Sn的关系变形构造a_n-a_n-1=2．即证数列{a_n}是等差数列．
（3）结合二项式系数的性质，将原不等式转化为2（

C 0 n

1

+

C 1 n

3

+

C 2 n

5

+…+

C n n

2n+1

）≤2（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…C_nⁿ）•

n+1

2n+1

用分析法逐项对应证明 

C k-1 n

2k-1

+

C n-k+1 n

2n-2k+3

≤

2(n+1)

2n+1

C

k-1 n

（k=1，2，3…n+1）．

解答：解：
证明：（1）由f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx知，f′（x）=ax²+bx+c．
∵f′（x-4）=f′（2-x），∴函数f′（x）的图象关于x=-1对称，∴-

b

2a

=-1，b=2a；
由（iii）知，x=-1时，y=O，即a-b+c=0
由（i）得f′（1）≥1，由（2）得f'（1）≤1．
∴f′（1）=1，即a+b+c=1，又a-b+c=0=0．
∴b=

1

2

，a=

1

4

，c=

1

4

•
∴f′(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．
（2）证明：由（1）知Sn=f′(an)=

1

4

a

2 n

+

1

2

an+

1

4

．
当n=1时，a1=S1=

1

4

a

2 1

+

1

2

a1+

1

4

，即

1

4

a

2 1

-

1

2

a1+

1

4

=0，
即（a₁-1）²=0，即a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-Sn-1=(

1

4

a

2 n

+

1

2

an+

1

4

)-(

1

4

a

2 n-1

+

1

2

an-1+

1

4

)=

1

4

(a

2 n

-

a

2 n-1

)+

1

2

(an-an-1)

1

4

(an+an-1 )(an-an-1)-

1

2

(an+an-1)=0
(an+an-1 )[

1

4

(an-an-1)-

1

2

]=0
因为数列{a_n}是正项数列 

1

4

(an-an-1)-

1

2

=0
所以a_n-a_n-1=2
∴数列{a_n}是正项等差数列．
（3）由（2）知，数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∴

C 0 n

a1

+

C 1 n

a2

+

C 2 n

a3

+…+

C n n

an+1

≤2n-1•

a1+an+1

a1an+1

等价于

C 0 n

1

+

C 1 n

3

+

C 2 n

5

+…+

C n n

2n+1

≤

(n+1)2n

2n+1

?2（

C 0 n

1

+

C 1 n

3

+

C 2 n

5

+…+

C n n

2n+1

）≤2（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…C_nⁿ）•

n+1

2n+1

?（

C 0 n

1

+

C n n

2n+1

）+（

C 1 0

3

+

C 2 n

2n-1

）+…+ (

C n n

2n+1

+

C 0 n

1

)≤

n

k=0

2(n+1)

2n+1

C

k n

为此，只需证明

C k-1 n

2k-1

+

C n-k+1 n

2n-2k+3

≤

2(n+1)

2n+1

C

k-1 n

（k=1，2，3…n+1）
?

1

2k-1

+

1

2n-2k+3

≤

2(n+1)

2n+1

•
即证明

(2k-1)+(2n-2k+3)

(2k-1)(2n-2k+3)

≤

2(n+1)

2n+1

?

2(n+1)

(2k-1)(2n-2k+3)

≤

2(n+1)

2n+1

?

1

(2k-1)(2n-2k+3)

≤

1

2n+1

?2n+1≤（2k-1）（2n-2k+3）
?4kn-4n+8k-4k²-4≥0
?（k-1）n-（k-1）²≥0
?（k-1）[n-（k-1）]≥0
上式显然成立．
∴原不等式成立．

点评：本题是函数与导数、数列、不等式的综合，是一道难题．着重考查函数图象的对称性、等差数列的定义、二项式系数的性质等知识，考查了待定系数法、转化构造法、倒序相加法、放缩法、数形结合等思想方法．